文章总结： 本文档是一道CTF中RSA加密题目的WriteUp，题目来源于SWPU2020。文档详细分析了如何利用已知的两个代数关系式推导RSA算法中的素数因子p和q。核心解题思路包括代数方程化简与最大公约数法，通过提取公因子快速分解大整数。文中给出了具体的数学推导过程及Python解题脚本，最终成功解密获得flag，具有较高的实操参考价值，适合密码学初学者学习RSA相关攻击技巧。 综合评分： 88 文章分类： CTF,解决方案,数据安全
WriteUp | 【NSS每日一题】[SWPU 2020]happy
原创
特别顾问 BINGCHN 特别顾问 BINGCHN
凌日网络与信息安全团队
2026年3月11日 12:00 重庆
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题目附件：
1. ('c=','0x7a7e031f14f6b6c3292d11a41161d2491ce8bcdc67ef1baa9eL')
2. ('e=','0x872a335')
3. #q + q*p^3 =1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
4. #qp + q *p^2 = 1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594
题目分析：
第一步：提取公因子简化方程
方程 1 提取 q：q(1 + p³) = A（记大数 A 为方程 1 右侧值） 方程 2 提取 qp：qp(1 + p) = B（记大数 B 为方程 2 右侧值） 第二步：利用代数公式化简 1+p³代数公式：1 + p³ = (1 + p)(p² – p + 1)，代入方程 1：q(1 + p)(p² – p + 1) = A
第三步：用方程 1 除以方程 2，消去公共项将化简后的方程 1 ÷ 方程 2：[q(1+p)(p²-p+1)] / [qp(1+p)] = A / B约去 q(1+p)（q、p 是素数，不为 0），得到：(p² – p + 1) / p = A / B进一步整理：p² – p + 1 = (A/B)pp² – p(1 + A/B) + 1 = 0（或更简单的形式：B(p² – p + 1) = Ap → Bp² – (A+B)*p + B = 0）
步骤 2：求解一元二次方程得到 p
上述整理后得到关于 p 的一元二次方程：Bp² – (A+B)p + B = 0根据一元二次方程求根公式 p = [ (A+B) ± √((A+B)² – 4BB) ] / (2*B)，计算关键点：
计算判别式 Δ = (A+B)² – 4*B² = (A+B-2B)(A+B+2B) = (A-B)(A+3B)； 计算 Δ 的平方根（因 p 是整数，Δ 必为完全平方数）； 代入求根公式得到 p（取正整数解，且为素数）。 步骤 3：由 p 求 q
得到 p 后，代入方程 2 qp(1+p) = B，直接解出 q：q = B / [p*(1+p)]（验证：q 需为素数，且代入方程 1 需成立）
步骤 4：计算私钥 d 并解密
计算欧拉函数 φ(n) = (p-1)(q-1)（n = pq）； 求 e 关于 φ(n) 的模逆元 d（即满足 e*d ≡ 1 mod φ(n)），可通过扩展欧几里得算法实现； 解密：m = pow(c, d, n)（c 是给定的密文，pow 函数高效计算大数模幂）。
三、基础注意事项
大数计算：所有数值都是极大整数，需用支持大整数的语言（如 Python）计算，Python 天然支持任意精度大整数，无需担心溢出； 素数验证：求解出的 p、q 需验证是否为素数（可通过简单的素性测试，如米勒 – 拉宾测试）； 模逆元求解：若 e 和 φ(n) 不互质，说明计算有误（RSA 中 e 需与 φ(n) 互质）。
解题：
根据附件可知需要求出p,q，一看就是需要求公约数的，用到的原理
1. hint1 = q + qp^3=(1+p^3)q = q(1+p)(p^2-p+1)
2. hint2 = qp + qp^2= q(1+p)p
3. gcd(hint1,hint2)= q(1+p)
4. p = hint2 / q(1+p)
5. q = gift // (p+1)
得到p,q后根据欧拉定理，解题代码如下：
1. fromCrypto.Util.number import*
2. from gmpy2 import*
4. c=0x7a7e031f14f6b6c3292d11a41161d2491ce8bcdc67ef1baa9e
5. e=0x872a335
6. #q + q*p^3 =1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
7. #qp + q *p^2 = 1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594
9. hint1 =1285367317452089980789441829580397855321901891350429414413655782431779727560841427444135440068248152908241981758331600586
10. hint2 =1109691832903289208389283296592510864729403914873734836011311325874120780079555500202475594
12. gift = gcd(hint1,hint2)
14. p = hint2//gift
15. q = gift // (p+1)
16. n= p*q
17. phi =(p-1)*(q-1)
19. d = invert(e, phi)
21. flag = pow(c, d, n)
22. print(long_to_bytes(flag))
Flag
1. flag{happy_rsa_1}
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