文章总结： 本文探讨一道几何极值问题，即在边长为2的正方形中，求点E在直线BC上时AE与DE之比的最大值。文章展示了托勒密不等式与阿氏圆两种解法。通过分析阿氏圆簇与直线的相切极限情形，得出该比例的最大值为黄金分割比的倒数，即根号5加1除以2。 综合评分： 30 文章分类： 其他

正方形ABCD边长为2，E在直线BC上，求AE/DE最大值

原创

沈沉舟 沈沉舟

青衣十三楼飞花堂

2026年7月4日 22:47 北京

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正方形ABCD边长为2，E在直线BC上，求最大值

网友UID(1412802191)指出，可以用阿氏圆做，也可以用托勒密不等式。他演示了后者

倍长AB至F，AB=BF。设

根据托勒密不等式，有

我补全阿氏圆的解法。

设，、是定点，对于确定的，的轨迹是阿氏圆，圆心在所在直线上。

实际位于阿氏圆簇上，它们的定点均为、。已知在直线上，意味着阿氏圆与直线有交点。因为求的最大值，所以不考虑的情形，只考虑时的递增情形。随着的递增，在递减，为保证圆与直线相交，极限情形是圆与直线相切。继续增大，继续减小，圆与直线相离。

问题转换成，在此阿氏圆簇中有个特定的阿氏圆与直线相切，即

 (求最大值，舍去负根)

这是黄金分割比(√5-1)/2的倒数。

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